Persamaan Non linier dengan metode Tertutup

Metode Numerik
Mengerjakan Soal Persamaan Non Linier dengan metode Tertutup

Sumber materi Metode Numerik oleh
Dosen : Diyah Wijayati, S.SI., M.SI.

Budayakan membaca secara sistematis jika ingin mendapatkan pemahaman yang utuh....

Selamat belajar....

Mengenal Persamaan Non Linier

Karena penyelesaian persamaan non linier ini menggunakan sin, cosinus, eksponesial, dll yang agak pusing😅, Jadi kita akan menggunakan kalkulator scientific untuk mempermudahnya.

Untuk mengaktifkan fungsi eksponensial pada kalkulator, langkahnya adalah :

1. Klik tombol shift di pojok kiri atas

2. Klik tombol ln yang diatas tombolnya ada tulisan e^x

3. Maka akan muncul huruf e seperti digambar

4. Langkah ini berguna untuk mengaktifkan fungsi lainnya pada kalkulator scientific

5. Selamat mencoba....

Memahami Theorama

1. Metode Bagi Dua (Bisection)

Video Youtube dari Ridwan Ilyas mengenai metode bagi dua

 Langkah-langkah pengerjaannya

Video Youtube dari Ridwan Ilyas mengenai cara mengerjakan persamaan non linier dengan metode bagi dua

 Algoritma penyelesaian

Contoh Soal

Lakukan 3 iterasi metode bagi dua untuk menghampiri akar positif terkecil dari persamaan e^x - 3x = 0 pada (0,1)

Penyelesaian :
Metode bagi dua (bisection)
Secara Matematis menggunakan Kalkulator scientific
----------------------------------------------------------------------
Iterasi ke 1 pada gambar sudah diketahui bahwa :
a = 0
b = 1
c = a + b / 2 => 0 + 1 / 2 = 1/2 desimalkan => 0,5

Sekarang kita masukkan a, b, c ke fungsi e^x - 3.x ke masing-masingnya

Jadi,
f(a) = e^a - 3.a => e^0 - 3.0 = 1
f(b) = e^b - 3.b => e^1 - 3.1 = -0,282
f(c) = e^c - 3.c => e^0,5 - 3.0,5 = 0,1487

Jika sudah kita kalikan f(a).f(c) hasilnya apakah <, >, = untuk menentukan kelanjutannya.

Dimana,
f(a).f(c) < 0 adalah "b = c" lanjutkan iterasi
f(a).f(c) > 0 adalah "a = c" lanjutkan iterasi
f(a).f(c) = 0 adalah "c" iterasi selesai

f(a).f(c)
1.0,1487 = 0.1487 dimana hasil ini adalah > 0

Maka f(a).f(c) > 0 sehingga "a = c" berarti lanjutkan iterasi....
----------------------------------------------------------------------
Lanjutan Iterasi ke 2
"a = c" berarti nilai a harus diisi dengan nilai c sehingga

a = 1/2 desimalkan 0,5
b = 1
c = a + b / 2 => 1/2 + 1 / 2 => 3/2/2 = 3

Masukkan lagi nilai a, b, c ke fungsi e^x - 3.x ke masing-masingnya

Jadi,
f(a) = e^a - 3.a => e^0,5 - 3.0,5 = 0,1487
f(b) = e^b - 3.b => e^1 - 3.1 = -0,282
f(c) = e^c - 3.c => e^3 - 3.3 = 11,0856

Dimana,
f(a).f(c) < 0 adalah "b = c" lanjutkan iterasi
f(a).f(c) > 0 adalah "a = c" lanjutkan iterasi
f(a).f(c) = 0 adalah "c" iterasi selesai

f(a).f(c)
0,1487.11,0856 = 1,6484 dimana hasil ini adalah > 0

Maka f(a).f(c) > 0 sehingga "a = c" berarti lanjutkan iterasi....
----------------------------------------------------------------------
Lanjutan Iterasi ke 3
Silahkan teman-teman lanjutkan ya, jika masih ada yang belum paham tulis dikolom komentarnya ya, dan jika ada yang sudah paham bisa bantu yang belum paham dikolom komentar jika saya belum sempat membalas,

Semoga bermanfaat untuk metode bagi dua

2. Metode Posisi Palsu (Regulasi Falsi)

 Penentuan titik potong c

Langkah-langkah pengerjaan

 Algoritma Penyelesaian

Contoh Soal

Lakukan 3 iterasi metode posisi palsu untuk menghampiri akar positif terkecil dari persamaan e^x - 3x = 0 pada (0,1)

Penyelesaian :
Metode Posisi Palsu (Regulasi Falsi)
Secara Matematis menggunakan Kalkulator scientific
----------------------------------------------------------------------
Iterasi ke 1 pada gambar sudah diketahui bahwa :
a = 0
b = 1
Untuk mencari "c" kita harus masukkan nilai "a, b" ke fungsi e^x - 3.x sehingga

f(a) = e^0 - 3.0 = 1
f(b) = e^1 - 3.1 = -0,28171817

Lalu cari "c" dengan rumus dibawah ini :
c = b - f(b).(a - b) / f(a) - f(b) => 1 - (-0,28171817).(0 - 1) / (1 - (-0,28171817)) = 0,78

Sehingga kita dapat
c = 0,78

Masukkan nilai "c" ke fungsi e^x - 3.x
f(c) = e^0,78 - 3.0,78 = - 0,1585

Jadi, kita dapat hasil fungsi dari "a, b, c"
f(a) = 1
f(b) = -0,28171817
f(c) = -0,1585

Kalikan f(a).f(c) untuk menentukan langkah selanjutnya
Dimana,
f(a).f(c) < 0 adalah "c baru" lanjutkan iterasi
f(a).f(c) > 0 adalah "c baru" lanjutkan iterasi
f(a).f(c) = 0 adalah "c" iterasi selesai

Sehingga,
f(a).f(c)
1.-0,1585 = -0,1585 < 0

Jadi, f(a).f(c) < 0
Maka, buatlah c baru
----------------------------------------------------------------------
Lanjutan Iterasi ke 2
Karena harus membuat "c baru" maka dalam metode palsu nilai c yang lama mengganti nilai a sebelumnya

Sehingga,
a = 0,78
b = 1

Untuk mencari "c" kita harus masukkan nilai "a, b" ke fungsi e^x - 3.x sehingga

f(a) = e^0,78 - 3.0,78 = -0,1585
f(b) = e^1 - 3.1 = -0,28171817

Lalu cari "c" dengan rumus dibawah ini :
c = b - f(b).(a - b) / f(a) - f(b) => 1 - (-0,28171817).(0,78 - 1) / ((-0,1585) - (-0,28171817)) = 0,497

Sehingga kita dapat
c = 0,497

Masukkan nilai "c" ke fungsi e^x - 3.x
f(c) = e^0,497 - 3.0,497 = 0,1528

Jadi, kita dapat hasil fungsi dari "a, b, c"
f(a) = -0,1585
f(b) = -0,28171817
f(c) = 0,1528

Kalikan f(a).f(c) untuk menentukan langkah selanjutnya
Dimana,
f(a).f(c) < 0 adalah "c baru" lanjutkan iterasi
f(a).f(c) > 0 adalah "c baru" lanjutkan iterasi
f(a).f(c) = 0 adalah "c" iterasi selesai

Sehingga,
f(a).f(c)
-0,1585.0,1528 = -0,0242188 < 0

Jadi, f(a).f(c) < 0
Maka, buatlah c baru
----------------------------------------------------------------------
Lanjutan Iterasi ke 3
Silahkan teman-teman lanjutkan ya, jika masih ada yang belum paham tulis dikolom komentarnya ya, dan jika ada yang sudah paham bisa bantu yang belum paham dikolom komentar jika saya belum sempat membalas,

Semoga bermanfaat untuk metode posisi palsu

----------------------------------------------------------------------
Sekian pembahasan kali ini, mohon maaf bila ada kekeliruan dalam pengerjaannya yang disengaja maupun tidak di sengaja.

Bila ada kritikan atau saran silahkan kirimkan ke kolom komentar....